Để dễ hình dung, bạn hãy lấy một quả bóng (hoặc một vật hình cầu), vẽ trên đó một đường cong khép kín không có điểm cắt nhau, sau đó cắt quả bóng theo đường vừa vẽ: bạn sẽ nhận được hai mảnh bóng vỡ. Làm lại như vậy với một cái phao (hay một vật hình xuyến): lần này bạn không được hai mảnh phao vỡ mà chỉ được có một. Trong hình học topo, người ta gọi quả bóng -đối lập với cái phao- là một bề mặt liên thông đơn giản. Một điều rất dễ chứng minh là trong không gian 3 chiều, mọi bề mặt liên thông đơn giản hữu hạn và không có biên đều là bề mặt của một vật hình cầu. Vào năm 1904, Henri Poincaré đặt ra câu hỏi: Liệu tính chất này của các vật hình cầu có còn đúng trong không gian bốn chiều. Điều kỳ lạ là các nhà hình học topo đã chứng minh được rằng điều này đúng trong những không gian lớn hơn hoặc bằng 5 chiều, nhưng chưa ai chứng minh được tính chất này vẫn đúng trong không gian bốn chiều.

Chính xác hơn, những người nghiên cứu toán học định nghĩa hai không gian tôpô là đồng phôi nếu có một song ánh liên tục từ không gian này vào không gian kia sao cho ánh xạ ngược cũng liên tục, nghĩa là hai không gian giống như nhau về mặt tôpô. Một đa tạp ba chiều không có biên là một không gian tôpô mà mỗi điểm có một lân cận đồng phôi với một lân cận của không gian Euclide ba chiều R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} , nghĩa là về mặt địa phương một đa tạp ba chiều không khác gì R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} . Một không gian tôpô là đơn liên nếu mỗi đường cong đóng liên tục trên đó đều có thể được "thắt" một cách liên tục thành một điểm, nghĩa là nó đồng luân liên tục với một điểm, nói cách khác nhóm cơ bản của không gian chỉ chứa phần tử đơn vị.